已知1<a<2,函数f(x)=log底a(x+√x^2-1)(x>1)。(1)求发小的反函数和反函数的定义域

一、
令y = f(x) = log(a)( x + √(x^2-1) )
则：
x + √(x^2-1) = a^y
√(x^2-1) = a^y - x
x^2 - 1 = (a^y - x)^2 = x^2 - 2x*a^y + a^2y
2x*a^y = a^2y + 1
x = (a^2y + 1) / 2a^y = [ a^y + a^(-y) ] / 2
故f(x)的反函数为：
f^(-1)(x) = [ a^x + a^(-x) ] / 2

f(x)的反函数的定义域即为f(x)的值域。
显然，x+√(x^2-1)是关于x的增函数，而x>1，所以：
x+√(x^2-1) > 1+√(1^2-1) = 1
而a>1，故：
f(x) = log(a)( x + √(x^2-1) ) > log(a)(1) = 0
即f(x)的值域为：（0，+∞）
f^(-1)(x)的定义域同样为：（0，+∞）

二、第二个问需要利用到第一个问。
注意到：
g(x) = [ 2^x + 2^(-x) ] / 2 ……（1）
f^(-1)(x) = [ a^x + a^(-x) ] / 2 ……（2）
两个表达式非常相似，只是前者底数是2，后者是a。

对（2）反过来变化一下，因为f(x)反函数的反函数就是本身，所以有：
x = log(a)( f^(-1)(x) + √( [f^(-1)(x)]^2 - 1) ) ……（3）
同样，对（1）式，有：
x = log(2)( g(x) + √(g^2(x)-1) ) ……（4）

题目是在x相等的情况下，比较g(x)与f^(-1)(x)的大小。
因此，我们在（3）（4）二式相等的情况下比较g(x)与f^(-1)(x)：
log(a)( f^(-1)(x) + √( [f^(-1)(x)]^2 - 1) ) = log(2)( g(x) + √(g^2(x)-1) )